Question

5．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．

Answer 1

分析 延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，根据SAS证△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．

解答 证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
∵在△BEF和△CEQ中$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠BEF=∠CEQ}\\{EF=EQ}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEQ，
∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AD，
∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，
∴∠G=∠GFA，
∴∠GFA=∠BFE，AG=AF，
∵∠BFE=∠Q（已证），
∴∠G=∠Q，
∴CQ=CG，
∵CQ=BF，
∴BF=CG=AG+AC=AF+AC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和角平分线性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，正确作辅助线是解此题的关键．