Question

4．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AE是∠BAC的平分线，延长AC至点D，使CD=AC．
（1）求证：DE=BE；
（2）连接BD，判断△ABD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ACE≌△DCE（SAS），推出AE=DE，再证明∠BAE=∠ABC，推出AE=BE，即可证明；
（2）结论：△ABD是等边三角形．根据线段的垂直平分线的性质可知BD=BA，由∠BAD=60°推出△ABD是等边三角形．

解答 （1）证明：在△ACE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCE=90°}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∵∠BAC=60°，AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=30°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE=BE，
∴DE=BE．

（2）解：结论：△ABD是等边三角形．
理由：∵CE垂直平分AD，
∴点B在CE的延长线上，
∴BA=BD，
∵∠BAC=60°，
∴△ABD是等边三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．