Question

如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为点E、F．请判断AP与EF的数量关系，并证明你的判断．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：连接PC，根据正方形的性质可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四边形PFCE是矩形，根据矩形的对角线相等可得PC=EF，再利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，从而得解．

解答：解：如图，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，
又∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°，
∴四边形PFCE为矩形，
∴PC=EF，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC ∠ABD=∠CBD PB=PB

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=EF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．