Question

16．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．

Answer 1

分析 延长FE交AC于点G，利用角平分线的性质可知EG=ED，然后证明△CEG≌△FED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性质，平行线的性质即可求出∠ECF=∠BCF．

解答 解：延长FE交AC于点G，
∵DE=DF，CD是斜边AB上的高，
∴∠DEF=45°，
∵∠DCB=45°，
∴EF∥BC，
∴∠EFC=∠FCB，∠CGF=90°，
∵AE平分∠CAB，
∠CGF=∠BDC=90°，
∴GE=DE，
在△CGE与△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGE=∠FDE}\\{GE=FE}\\{∠GEC=∠DEF}\end{array}\right.$，
∴△CGE≌△FDE（ASA），
∴CE=FE，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠ECF=∠BCF，
∴CF平分∠DCB．

点评 本题考查等腰三角形的性质，涉及全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，综合程度较高．