Question

1．设x₁，x₂是方程x²-2008x-1=0的两个根，则x${\;}_{2}^{2}$+$\frac{2008}{{x}_{1}}$的值是1．

Answer 1

分析 根据一元二次方程解的定义得到x₂²-2008x₂-1=0，即x₂²=2008x₂+1，于是原式化简为2008x₂+1+$\frac{2008}{{x}_{1}}$，再进行通分得到2008•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+1}{{x}_{1}}$+1，接着根据根与系数的关系得到x₁•x₂=-1，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵x₂是方程x²-2008x-1=0的根，
∴x₂²-2008x₂-1=0，即x₂²=2008x₂+1，
∴x${\;}_{2}^{2}$+$\frac{2008}{{x}_{1}}$=2008x₂+1+$\frac{2008}{{x}_{1}}$
=2008•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+1}{{x}_{1}}$+1，
∵x₁，x₂是方程x²-2008x-1=0的两个根，
∴x₁•x₂=-1，
x${\;}_{2}^{2}$+$\frac{2008}{{x}_{1}}$=2008•$\frac{-1+1}{{x}_{1}}$+1=1．
故答案为1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解的定义．