Question

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD∥BC，AB=AD，BD交AC于点E，AE=$\frac{1}{2}$ED．求证：AE=2EC．

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=90°，∠D=∠EBC，由AE=$\frac{1}{2}$ED，得到∠D=∠EBC=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠D=30°，证得AE=BE，由含30°角的直角三角形的性质得到CE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$AE，即可得到结论．

解答 证明：∵∠C=90°，AD∥BC，
∴∠DAC=∠C=90°，∠D=∠EBC
∵AE=$\frac{1}{2}$ED，
∴∠D=∠EBC=30°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D=30°，
∴∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE，
∵∠EBC=30°，∠C=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=2EC．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键，