Question

17．如图1，∠AOB=∠BOD=90°，AO=BO，OD=OE．
（1）判断AE与BD的关系，并证明；
（2）如图2，点F、H、Q分别为AB、AD、BE的中点，试探究QF与FH的关系；
（3）若FQ=（1-$\frac{1}{x+2}$）÷$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x+2}$，其中x=$\sqrt{3}$-1，求△QFH的周长．

Answer 1

分析 （1）结论：AE=BD，AE⊥BD．如图1中，延长AE交BD于F．由△AOE≌△BOD，推出AE=BD，∠EAO=∠OBD，由∠AEO=∠BEF，推出∠BFE=∠AOE=90°，即∠BFE=90°；
（2）结论：FQ=FH，FQ⊥FH．根据三角形中位线定理即可即可解决问题．
（3）△FQH是等腰直角三角形，求出FQ即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AE=BD，AE⊥BD．
理由：如图1中，延长AE交BD于F．

在△AOE和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOD}\\{OE=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOD，
∴AE=BD，∴∠EAO=∠OBD，
∵∠AEO=∠BEF，
∴∠BFE=∠AOE=90°，
∴∠BFE=90°，
∴AE⊥BD，AE=BD．

（2）结论：FQ=FH，FQ⊥FH．

理由：∵BF=AF，BQ=QE，
∴FQ∥AE．FQ=$\frac{1}{2}$AE，
∵AF=FB，AH=HD，
∴FH∥BD，FH=$\frac{1}{2}$BD，
∵AE=BD，AE⊥BD，
∴FQ=FH，FQ⊥FH．

（3）∵FQ=（1-$\frac{1}{x+2}$）÷$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x+2}$=$\frac{x+1}{x+2}$•$\frac{x+2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$，
∵x=$\sqrt{3}$-1，
∴FQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由（2）可知，△FQH是等腰直角三角形，
∴FQ=FH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，QH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴△FQH的周长=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、分式的混合运算、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活应用三角形中位线定理，属于中考常考题型