Question

3．如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）求证：AB²=AP²+BP²；
（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理即可得出结论；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB．
∴∠DAB+∠CBA=180°．
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠CBA）=90°．
在△APB中，∵∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°．
∴AP⊥PB，
∴AB²=AP²+BP²；
（2）解：∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP=∠PAB=∠DPA．
∴△ADP是等腰三角形．
∴AD=DP=5cm．
同理，PC=CB=5cm．
∴AB=DP+PC=10cm．
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6（cm）．
∴△APB的周长是6+8+10=24（cm）．

点评 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是关键．