Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、PE的中点，则随着点E的运动，线段MN长的取值或取值范围为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=$\frac{1}{2}$AP．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，
∴DP=2，
∴AP=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AP=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的值是解题的关键．