Question

12．已知射线AB∥射线CD，P为一动点，AE平分∠PAB，CE平分∠PCD，且AE与CE相交于点E．
（1）在图1中，当点P运动到线段AC上时，∠APC=180°．
①直接写出∠AEC的度数；②求证：∠AEC=∠EAB+∠ECD；
（2）当点P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC之间的关系，并加以说明；
（3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出∠AEC与∠APC之间的关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）①由平行线的性质可得出∠PAB+∠PCD=180°，进而可得出∠AEC的度数；
②在图1中，过E作EF∥AB，根据平行线的性质可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD，进而即可证出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD；
（2）猜想：∠AEC=$\frac{1}{2}$∠APC，由角平分线的定义可得出∠EAB=$\frac{1}{2}$∠PAB、∠ECD=$\frac{1}{2}$∠PCD，由（1）可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD，进而即可得出∠AEC=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠PCD）=$\frac{1}{2}$∠APC；
（3）在图3中，（2）中的结论不成立，而是满足∠AEC=180°-$\frac{1}{2}$∠APC，过P作PQ∥AB，由平行线的性质可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°，进而可得出∠PAB+∠PCD=360°-∠APC，再由角平分线的定义可得出∠EAB=$\frac{1}{2}$∠PAB、∠ECD=$\frac{1}{2}$∠PCD，结合（1）的结论即可证出∠AEC=180°-$\frac{1}{2}$∠APC．

解答 解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠PAB+∠PCD=180°，
∴∠AEC=90°；
②证明：在图1中，过E作EF∥AB，则∠AEF=∠EAB．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CEF=∠ECD．
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD．
（2）猜想：∠AEC=$\frac{1}{2}$∠APC，理由如下：
∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠PAB，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠PCD．
由（1）知∠AEC=∠EAB+∠ECD，∠APC=∠PAB+∠PCD，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠PAB+$\frac{1}{2}$∠PCD=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠PCD）=$\frac{1}{2}$∠APC．
（3）在图3中，（2）中的结论不成立，而是满足∠AEC=180°-$\frac{1}{2}$∠APC，
其证明过程是：
过P作PQ∥AB，则∠PAB+∠APQ=180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ+∠PCD=180°．
∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°，即∠PAB+∠PCD=360°-∠APC．
∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠PAB，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠PCD．
由（1）知∠AEC=∠EAB+∠ECD，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠PAB+$\frac{1}{2}$∠PCD=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠PCD）=$\frac{1}{2}$（360°-∠APC）=180°-$\frac{1}{2}$∠APC．

点评 本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）①根据平行线的性质找出∠PAB+∠PCD=180°；②根据“两直线平行，内错角相等”找出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD；（2）根据角平分线的定义结合（1）结论找出∠AEC=$\frac{1}{2}$∠APC；（3）根据角平分线的定义结合（1）结论找出∠AEC=180°-$\frac{1}{2}$∠APC．