Question

6．如图，直线l：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别相交于点A，B，△AOB与△ACB关于直线L对称．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线BC与x轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥x轴于点E，先根据直角三角形的性质求出OA，OB的长度，根据直角三角形特殊角的三角函数值可求得有关角的度数．利用轴对称性和直角三角函数值可求得AE，CE的长度，从而求得点C的坐标；
（2）求得直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，当y=0时，x=3，即可得到结论．

解答 解：（1）过点C作CE⊥x轴于点E
由直线AB的解析式可知
当x=0时，y=$\sqrt{3}$，即OB=$\sqrt{3}$
当y=0时，x=1，即OA=1
∵∠AOB=∠C=90°，tan∠3=OB：OA=$\sqrt{3}$
∴∠3=60°
∵△AOB与△ACB关于直线l对称
∴∠2=∠3=60°，AC=OA=1
∴∠1=180°-∠2-∠3=60°
在RT△ACE中
AE=cos60°×AC=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$
CE=sin60°×AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴OE=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴点C的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（2）∵B（0，$\sqrt{3}$），设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
当y=0时，x=3，
∴直线BC与x轴的交点坐标（3，0）．

点评 本题主要考查了一次函数与直角三角形的综合运用和有关轴对称的性质．要熟练掌握根据函数解析式求得有关线段的长度的方法，灵活的运用数形结合的知识解题．