题目内容
4．
如图①，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=-x+2经过A、C两点，且AB=2．（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平行于x轴，直线l从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴负半轴方向向点O运动，到点O停止，且分别交线段AC、线段BC、抛物线、y轴于点E、D、F（点F在对称轴的右侧）、H，当点D是线段EF的三等分点时，求t的值；
（3）如图②，在直线l运动的过程中，过点D作x轴的垂线交x轴于点G，四边形OHDG与△AOC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
分析 （1）求出A、B、C三点坐标，代入抛物线的解析式，解方程组即可．
（2）分两种情形①如图①中，当DF=2DE时，点F坐标（4t，2-t），②如图2中，当DE=2DF时，点F坐标（$\frac{5}{2}$t，2-t），想办法列出方程解决问题．
（3）分两种情形①如图③当0＜t≤1时，重叠部分是五边形EHOGK，②如图④中，当1＜t＜2时，重叠部分是四边形OHEA，分别计算即可．
解答 解：（1）∵直线y=-x+2与x轴、y轴的交点为A（2，0），C（0，2），AB=2，
∴B（4，0），
把A（2，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y=ax2+bx+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{c=2}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+2．
（2）∵OA=OC=2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵直线l∥x轴，
∴△HEC是等腰直角三角形，
∵OA=AB=2，
∴HE=DE，
①如图①中，当DF=2DE时，点F坐标（4t，2-t），
∴2-t=$\frac{1}{4}$×（4t）2-$\frac{3}{2}$×4t+2，
∴t=$\frac{5}{4}$或0（舍弃），
②如图2中，当DE=2DF时，点F坐标（$\frac{5}{2}$t，2-t），
∴2-t=$\frac{1}{4}$×（$\frac{5}{2}$t）2-$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{2}$t+2，
∴t=$\frac{44}{25}$或0（舍弃），
综上所述，当点D是线段EF的三等分点时，t的值为$\frac{5}{4}$s或$\frac{44}{25}$s．
（3）①如图③当0＜t≤1时，重叠部分是五边形EHOGK，
S=S矩形OHDG-S△DEK=2t•（2-t）-$\frac{1}{2}$t2=-$\frac{5}{2}$t2+4t，
②如图④中，当1＜t＜2时，重叠部分是四边形OHEA，
S=$\frac{1}{2}$（t+2）（2-t）=-$\frac{1}{2}$t2+2，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{2}{t}^{2}+4t}&{（0＜t≤1）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+2}&{（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．
点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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如图，AB∥CD∥EF，若$\frac{AC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{3}$．| A． | 任何数都有两个平方根 | B． | 若a＞0，x2=a，则x是a的一个平方根 | ||
| C． | 2的平方根是4 | D． | 若a＞0，x2=a，则a是x的一个平方根 |