Question

4．已知平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=x²-2bx+3的图象过x轴上点A（3，0），且与y轴交于点B，顶点为点P．
（1）求此二次函数的解析式及点P的坐标；
（2）点C（4，c）在这个二次函数的图象上，过点C作x轴的垂线交直线BA于点D，求△BPD的面积．
（3）在射线BC上是否存在点Q，使以点Q，B，O所组成的三角形与△QAB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得答案；
（2）根据平行于坐标轴直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标，可得PD，BE根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得BQ的长，可得Q点坐标．

解答 解：（1）将A点坐标代入函数解析式，得
9-6b+3=0，解得b=2，
函数的解析式为y=x²-4x+3，
配方，得y=（x-2）²-1，
即顶点为点P的坐标为（2，-1）；
（2）如图1，
当x=0时，y=3，即B点坐标（0，3）．
A点坐标为（3，0），
AB的解析式为y=-x+3，
CD⊥x轴，交AB于D，
当x=4时，y=-4=3=-1，即D点坐标为（4，--1），
由于P点坐标为（2，-1），
PD=4-2=2．
BE的长为3-（-1）=4．
S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$×2×4=4；
（3）在射线BC上存在点Q，使以点Q，B，O所组成的三角形与△QAB相似，
如图2，
，
当△QBA∽△BOQ时，$\frac{QB}{BO}$=$\frac{QA}{BQ}$=1，即BQ=OB=OA=QA=3，
Q点的坐标为（3，3）；
如图3，
，
作QF⊥AO于F，当∠BAO=∠QBO=90°时，AO=BO=3，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∠BAO=45°，∠QAF═45°，AF=FQ=3，
BA=AQ=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BQ=6=2BO，
$\frac{BQ}{BO}$≠$\frac{BA}{AQ}$，
∴△QBA与△BOQ不相似，
综上所述：△QBA∽△BOQ时，Q点的坐标为（3，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用配方法求函数顶点坐标是解题关键；（2）利用平行于坐标轴直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标得PD，BE的长是解题关键；（3）利用相似三角形的判定与性质得BQ的长是解题关键．