Question

10．一个数学小组将一个直角三角形ABC（∠ACB=90°），放进平面直角坐标系中，进行探究活动．
（1）若点C与坐标原点O重合时，如图1，点A坐标为（-3，3），点B坐标为（5，5），这时△ABC的面积为15；（直接写出结果）
（2）若点C在第三象限，且AC过坐标原点O，AB交x轴于G；作直线DM平行x轴，DM交BC于E，交AB于F．
①如图2，若∠AOG=50°，求∠CEF的度数．
②如图3，在AC取点N，使∠NEC+∠CEF=180°，求证：∠NEF=2∠AOG．

Answer 1

分析 （1）求出OA、OB，根据根据三角形的面积公式直接计算即可；
（2）①在如图2中，过C作CH∥x轴，则∠ACH=∠ACH=50°，求出∠ECH，由CH∥DM，可得∠ECH+∠CEF=180°，由此即可解决问题；
（3）首先证明∠NEC=∠CED，由∠NEF=2（90°-∠CED），∠CED=∠COD=90°-∠AOG，推出∠AOG=90°-CED，即可推出∠NEF=2∠AOG．

解答 解：（1）∵点A坐标为（-3，3），点B坐标为（5，5），
∴OA=3$\sqrt{2}$，OB=5$\sqrt{2}$，OA⊥OB，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=15，
故答案为15．

（2）①在如图2中，过C作CH∥x轴，则∠ACH=∠ACH=50°，

∵∠ACB=90°，∴∠ECH=40°，
∵DM∥x轴，
∴CH∥DM，
∴∠ECH+∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°-∠ECH=140°．

②如图3中，

∵∠NEC+∠CEF=180°，∠CEF+∠CED=180°，
∴∠NEC=∠CED，
∵∠CED+∠NEC+∠NEF=180°，
∴∠NEF+2∠CED=180°，
∴∠NEF=2（90°-∠CED），
∵∠CED=∠COD=90°-∠AOG，
∴∠AOG=90°-CED，
∴∠NEF=2∠AOG．

点评 本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、平行线的性质．三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线，利用平行线的性质解决问题，属于中考压轴题．