Question

7．如图，在△ABC中，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D、E，连接DE，若ED=DC，AE=3，AD=4，则$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{9}{23}$．

Answer 1

分析 连接BD．先证明△AED∽△ADB，求出AB、BE，即可解决问题．

解答 解：如图连接BD．

∵ED=DC，
∴$\widehat{ED}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CBD=∠DBE，
∵BE=BD=BC，
在△BDE和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{∠DBE=∠DBC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDC，
∴∠BED=∠BDE=∠BDC=∠BCD，
∵∠AED+∠BED=180°，∠ADB+∠BDC=180°，
∴∠AED=∠ADB，∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{4}{AB}$，
∴AB=$\frac{16}{3}$，
∴BE=AB-AE=$\frac{7}{3}$，
∴S_△AED：S_△BED=9：7，
∴S_△ADE：S_{四边形BCDE}=9：14，
∴S_△AED：S_△ABC=9：23．
故答案为$\frac{9}{23}$．
故答案为$\frac{9}{23}$

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．