Question

8．如图，在?ABCD中，∠BAD=32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，又由BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，即可证得AB=FD，EB=AD，∠ABE=∠FDA，则可证得结论；
（2）由△ABE≌△FDA，可得∠AEB=∠DAF，又由AE⊥AF，∠BAD=32°，即可求得∠EAB+∠DAF=90°-∠BAD=58°，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∵BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，
∴AB=FD，EB=AD，∠ABE=∠FDA，
在△ABE和△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=FD}\\{∠ABE=∠FDA}\\{EB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FDA（SAS）；

（2）∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE⊥AF，∠BAD=32°，
∴∠EAB+∠DAF=90°-∠BAD=58°，
∴∠EBH=∠EAB+∠AEB=∠EAB+∠DAF=58°．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得AB=FD，EB=AD，∠ABE=∠FDA是关键．