Question

14．如图，△ABC的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则△OFG与△GAH面积之比为（　　）

• A． 2：4
• B． 1：3
• C． 2：5
• D． 1：4

Answer 1

分析 作OP⊥AC于P、连接PF，可得P为AC中点，根据BE⊥AC、AD⊥BC、OF⊥BC可得PF是△ABC中位线且△ABH∽△FPO，从而得出$\frac{OF}{AH}=\frac{PF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，根据OF∥AH得△OFG∽△HAG，由相似三角形的性质即可知答案．

解答 解：如图，过点O作OP⊥AC于P，连接PF，

∴P为AC中点，
∵BE⊥AC，
∴OP∥BE，即OP∥BH，
又∵AD⊥BC，且OF⊥BC，
∴OF∥AH，且F为BC中点
∴△ABH∽△FPO，且PF∥AB、PF=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{OF}{AH}=\frac{PF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
又∵OF∥AH，
∴△OFG∽△HAG，
∴$\frac{{S}_{△OFG}}{{S}_{△GAH}}$=（$\frac{OF}{AH}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查三角形垂心的性质和相似三角形的判定与性质，掌握三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍是解题的关键．