Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=4

3

，当点P在

BC

上由B点运动到C点时，弦AP的中点E运动的路径长为（　　）

• A、

  4 3

  3

  π
• B、

  4

  3

  π
• C、

  8

  3

  π
• D、2

  3

Answer 1

考点：轨迹,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线,圆周角定理,弧长的计算,特殊角的三角函数值

专题：计算题

分析：连接BO并延长交⊙O于点Q，连接QC，如图1，在直角△BCQ中，利用三角函数可求出直径BQ的长；连接AO，OP，OE，取OA的中点F，连接EF，FM，FN，如图2，根据等腰三角形的性质和斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=2，从而得到点E的运动路径是以点F为圆心，2为半径的圆弧

MN

，然后只需运用圆弧长公式就可求出弦AP的中点E运动的路径长．

解答：解：连接BO并延长交⊙O于点Q，连接QC，如图1，

∵BQ是⊙O的直径，
∴∠BCQ=90°．
∵∠Q=∠A=60°，BC=4

3

．
∴sinQ=

BC

BQ

=

4 3

BQ

=

3

2

．
∴BQ=8．
连接AO，OP，OE，取OA的中点F，连接EF，FM，FN，如图2，

∵OA=OP，点E为AP的中点，
∴OE⊥AP．
∵点F为OA的中点，
∴EF=

1

2

OA．
∵OA=

1

2

×8=4，
∴EF=2．
∴点E的运动路径是以点F为圆心，2为半径的圆弧

MN

．
∵∠MFN=2∠MAN=120°（圆周角定理），
∴

MN

的长为

120π×2

180

=

4π

3

．
故选：B．

点评：本题是一道选择题，考查的知识面比较广，考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、特殊角的三角函数值、圆周角定理、圆弧长公式等知识，综合性强，是一道好题．