Question

16．老师在黑板上写出了下列几个算式：
第1个式子：3²-1²=8×1．
第2个式子：5²-3²=8×2．
第3个式子：7²-5²=8×3．
…
请认真观察上述算式，根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）写出第n个算式：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
（2）尝试用语言描述你发现的规律；
（3）利用所学的知识证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据已知三等式即可得；
（2）观察各算式可知：左边为两个连续奇数的平方差，右边为8的倍数，根据规律写出第n个算式即可．
（3）根据整式的混合运算展开后再合并即可得．

解答 解：（1）由题意知第n个算式为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n，
故答案为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；

（2）观察各算式可知：左边为两个连续奇数的平方差，右边为8的倍数；

（3）左边=4n²+4n+1-（4n²-4n+1）=4n²+4n+1-4n²+4n-1=8n=右边，
∴（2n+1）²-（2n-1）²=8n．

点评 此题考查数字的变化规律，发现等式左边为连续奇数的平方差是解题的关键．