Question

已知：关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m为实数）．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过x轴上的一个固定点．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式

专题：计算题

分析：（1）根据b²-4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m为实数）的解的情况；
（2）用十字相乘法来转换y=（m-1）x²+（m-2）x-1，即y=[（m-1）x-1]（x+1），令y=0即可确定出抛物线过x轴上的固定点坐标．

解答：（1）解：根据题意，得△=（m-2）²-4×（m-1）×（-1）＞0，即m²＞0，
解得m＞0或m＜0①，
又∵m-1≠0，
∴m≠1②，
由①②，得m＜0，0＜m＜1或m＞1；

（2）证明：由y=（m-1）x²+（m-2）x-1，得y=[（m-1）x-1]（x+1），
抛物线y=[（m-1）x-1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m-1）x-1]（x+1）=0的两根，
则

x+1=0① (m-1)x-1=0②

，
由①得，x=-1，即一元二次方程的一个根是-1，
∴无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过x轴上的一个固定点（-1，0）．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及根的判别式，在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b²-4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度．