Question

9．如图，在四边形ABCD中，AC⊥DB，垂足为O，点E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线定理，即可证明四边形EFGH的两组对边分别平行，是平行四边形，然后根据平行线的性质，证明有一个角是直角，即可依据矩形的定义证明．

解答 证明：∵F、E是AB和AD的中点，即EF是△ABD的中位线，
∴BD∥EF，
同理EH∥AC，HG∥BD，FG∥AC．
∴EH∥FG，且EF∥HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，即∠EHG=90°，
∵平行四边形EFGH是矩形．

点评 本题考查了三角形的中位线定理以及矩形的判定方法，正确理解矩形的判定方法是关键．