Question

10．因为a•$\frac{1}{a}$=1，所以（a+$\frac{1}{a}$）²=a²+2a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2，①
 （a-$\frac{1}{a}$）²=a²-2a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2    ②
所以由①得：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）²-2或由②得：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a-$\frac{1}{a}$）²+2
那么a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-2
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知a+$\frac{1}{a}$=2，则下列等式成立的是C
①a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=2；②a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=2；③a-$\frac{1}{a}$=0；④（a-$\frac{1}{a}$）²=2；
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
（2）已知a+$\frac{1}{a}$=-2，求下列代数式的值：
①a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$；②（a-$\frac{1}{a}$）²；③a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$．

Answer 1

分析 （1）根据给定的公式的变形逐一分析四个算式的正误，由此即可得出结论；
（2）根据给定的公式的变形代入数据，即可得出结论．

解答 解：（1）①∵a+$\frac{1}{a}$=2，
∴a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）²-2=2，
∴①正确；
②∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=2，
∴a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-2=2，
∴②正确；
③∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=2，
∴（a-$\frac{1}{a}$）²=a²-2a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2=0，
∴③正确；
④③∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=2，
∴（a-$\frac{1}{a}$）²=a²-2a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2=0，
∴④错误；
故选C．
（2）①∵a+$\frac{1}{a}$=-2，
∴a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）²-2=2；
②∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=2，
∴（a-$\frac{1}{a}$）²=a²-2a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2=0；
③∵a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=2，
∴a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-2=2．

点评 本题考查了完全平方公式，解题的关键是：（1）逐一分析四个算式的正误；（2）利用公式的变式，代入数据即可算出结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉完全平方公式的变式是关键．