Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出其对称轴，从而求出OE长，然后根据平行四边形的性质可求出FC长，从而得到点C的横坐标，代入抛物线的解析式就可得到点C的坐标；
（3）可分三种情况（①点O是顶角顶点，②点C是顶角顶点，③点P是顶角顶点）讨论，然后只需运用勾股定理就可解决问题．

解答：解：（1）把点A（1，0）和B（3，0）代入y=ax²+bx+3得，

a+b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=1 b=-4

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；                 

（2）∵抛物线的对称轴为直线x=-

-4

2×1

=2，∴OE=2．
∵四边形OECF是平行四边形，
∴FC=OE=2，
∴点C的横坐标是4，
∵点C在抛物线上，
∴y=4²-4×4+3=3，
∴点C的坐标为（4，3）；                       

（3）∵点C的坐标为（4，3），
∴OC的长为5．
①点O是顶角顶点时，OP=OC=5．
∵∠OEP=90°，
∴OP²=OE²+EP²．
∵OE=2，OP=5，
∴EP=

52-22

=

21

，
∴点P的坐标为（2，

21

）或（2，-

21

）；       
②点C是顶角顶点时，CP=OC=5，
同理可得：PF=

21

，
∴PE=

21

±3，
∴点P的坐标为（2，

21

+3）或（2，3-

21

）；   
③点P是顶角顶点时，点P在OC上，
不存在．   
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（2，

21

）或（2，-

21

）或（2，

21

+3）或（2，3-

21

），使△OCP是等腰三角形．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键；需要注意的是将线段的长度转化为坐标时，要根据点所在的象限确定横坐标和纵坐标的符号．