Question

10．如图1，△ABD，△BCE都是等边三角形（提示：等边三角形三边相等，三个角都是60°），点A、B、C在同一直线上，AE和CD交于点P．
（1）求证：AE=CD；
（2）求∠APD的度数；
（3）如图2，M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．
（友情提醒：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）

Answer 1

分析 （1）要求AE=CD，可把两条线段放在△ABE，△DBC中，利用SAS证明两个三角形全等即可；
（2）由△ABE≌△DBC，所以得到∠BAE=∠BDC，求得∠BDC+∠BCD=180°-∠DBC=180°-120°=60°，根据外角的性质得到∠APD=∠PAC+∠PCA，所以∠APD=∠BDC+∠PCA=60°．
（3）△BMN的形状为等边三角形，理由为：在（1）的基础上，通过三角形的全等，得到一对角相等，再由M与N分别AE、CD的中点，得到AM=DN，以及AB=BD，利用SAS可证明三角形ABE与三角形DBN全等，由全等三角形的对应角相等，对应边相等，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得出△BMN为等边三角形

解答 解：（1）∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
（2）∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠ABD=60°，
∴∠DBC=120°，
∴∠BDC+∠BCD=180°-∠DBC=180°-120°=60°，
∵∠APD=∠PAC+∠PCA，
∴∠APD=∠BDC+∠PCA=60°．
（3）△MBN是等边三角形，理由为：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM=DN，
在△ABM和△DBN中
 $\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{∠BAE=∠BDC}\\{AB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN，
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等边三角形．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．