Question

如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）．
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为

 

度；
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）根据∠MON的度数，可得ON旋转的度数，可得答案；
（2）根据∠AOC：∠BOC=1：3，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AON与∠CON的关系，再根据∠AON与∠AOM的关系，可得答案；
（3）分类讨论，ON在∠AOC的平分线上，ON的反向延长线平分∠AOC，可得相应的旋转角，根据旋转的速度，可得旋转的时间．

解答：解：（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 270度，
故答案为：270；
（2）解：∠AOM-∠NOC=45°，理由如下：
∵∠AOC：∠BOC=1：3，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=45°，∠BOC=135°，
∴∠AON+∠NOC=45°，∠AON=45°-∠NOC
∵∠MON=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°．
∴45°-∠NOC+∠AOM=90°，
即∠AOM-∠NOC=45°．
（3）解：①当ON平分∠AOC时，由（2）可知：∠AOC=45°，
∴∠AON+∠NOC=45°．
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠NOC=22.5°，
∵∠MON=90°，
∴旋转角度为：90°+22.5°=112.5°，
∴t=

112.5

25

=4.5s．
②当ON的反向延长线平分∠AOC时，旋转112.5°的基础上，再旋转180°，
∴旋转角度为：112.5°+180°=292.5°．
∴t=

292.5

25

=11.7s．
综上所述：t=4.5s或t=11.7s．

点评：本题考查了几何变换综合题，利用了旋转角，角的和差关系，分类讨论是解题关键．