Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²-（m-1）x+m²-6交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连结AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：（1）把B点坐标代入y=-x²-（m-1）x+m²-6得到m₁=3，m₂=-3，由于顶点C位于第二象限，根据对称轴得到x=-

m-1

2×(-1)

＜0，即m＞1，所以m=3，于是得到抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）先确定A点坐标（-3，0）和C点坐标（1，4），而B点坐标为（0，3），根据两点间的距离公式得到AB=3

2

，AC=2

5

，BC=

2

，易得AB²+BC²=AC²，根据勾股定理的逆定理得∠ABC=90°，则∠CAB+∠ACB=90°，由于∠CAB=∠DCB，所以∠DCB+∠ACB=90°，于是得到CD⊥AC．

解答：解：（1）把B（0，3）代入y=-x²-（m-1）x+m²-6得m²-6=3，解得m₁=3，m₂=-3，
∵顶点C位于第二象限，
∴x=-

m-1

2×(-1)

＜0，即m＞1，
∴m=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）CD⊥AC．理由如下：
令y=0，则-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A点坐标为（-3，0），
∵y=-x²-2x+3=-（x-1）²+4，
∴C点坐标为（1，4），
而B点坐标为（0，3），
∴AB=3

2

，AC=2

5

，BC=

2

，
∵（3

2

）²+（

2

）²=（2

5

）²，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
而∠CAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ACB=90°，
∴CD⊥AC．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了勾股定理的逆定理．