Question

15．已知：如图，AC⊥BC，CD⊥CE，AC=BC，CD=CE，F为BD的中点，求证：AE=2CF，AE⊥CF．

Answer 1

分析 延长CF到H使得FH=CF，AE与BC交于点O，AE与CF交于点G，首先证明△HFD≌△CFB，推出DH=BC，∠H=∠HCB，DH∥BC，再证明△ACE≌△HDC，推出AE=CH=2CF，再证明∠OGC=90°，即可解决问题．

解答 证明：延长CF到H使得FH=CF，AE与BC交于点O，AE与CF交于点G．
在△HFD和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BF}\\{∠HFD=∠BFC}\\{HF=FC}\end{array}\right.$，
∴△HFD≌△CFB，
∴∠H=∠BCF，DH=BC=AC，
∴DH∥CB，
∴∠HDC+∠DCB=180°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCB=180°，
∴∠ACB+∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠ACE+∠BCD=180°，
∴∠HDC=∠ACE，
在△ACE和△HDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DH}\\{∠ACE=∠HDC}\\{CE=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△HDC，
∴AE=HC=2CF，∠H=∠EAC=∠HCB，
∵∠EAC+∠AOC=90°，
∴∠HCB+∠AOC=90°，
∴∠OGC=90°，
∴AE⊥CF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，寻找全等三角形的条件是本题的难点，属于中考常考题型．