Question

8．如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）若DC是∠NDE的平分线．
①试说明∠ABC=∠C；
②试说明BD是∠ABC的平分线．
（要求：第（1）小题要写出每一步的理由，第（2）小题的理由可省略不写．）

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠ABC=∠1=60°，求出∠ABC=∠2，根据平行线的判定得出即可；
（2）①根据平行线的性质得出∠1=∠ABC=60°，∠NDE+∠2=180°，求出∠EDC=∠NDC=$\frac{1}{2}$∠NDE=60°，根据平行线的性质得出∠C=∠NDC=60°，即可得出答案；
②求出∠ADC=120°，求出∠ADB=30°，根据平行线的性质求出∠DBC=∠ADB=30°，即可得出答案．

解答 解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵MN∥BC（已知），
∴∠ABC=∠1=60°（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠ABC=∠2（等量代换），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）；

（2）①∵MN∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，∠NDE+∠2=180°，
∴∠NDE=180°-∠2=180°-60°=120°，
∵DC是∠NDE的平分线，
∴∠EDC=∠NDC=$\frac{1}{2}$∠NDE=60°，
∵MN∥BC，
∴∠C=∠NDC=60°，
∴∠ABC=∠C；

②∠ADC=180°-∠NDC=180°-60°=120°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-90°=30°，
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴BD是∠ABC的平分线．

点评 本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．