Question

点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=

3

AC，则∠ABC所对的弧长等于

 

（长度单位）．

Answer 1

考点：弧长的计算,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：压轴题,分类讨论

分析：作出图形，根据同角或等角的余角相等求出∠H=∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出

BD

AD

，再利用锐角三角函数求出∠ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解．

解答：解：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠H+∠DBH=90°，
∠C+∠DBH=90°，
∴∠H=∠C，
又∵∠BDH=∠ADC=90°，
∴△ACD∽△BHD，
∴

BD

AD

=

BH

AC

，
∵BH=

3

AC，
∴

BD

AD

=

3

，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°，
∴∠ABC所对的弧长=

60•π•r

180

=

1

3

πr．
如图2，当∠ABC=150°时，则∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，
∴∠ABC所对的弧长=

300•π•r

180

=

5

3

πr．
故答案为：

1

3

πr或

5

3

πr．

点评：本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．