题目内容
已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠C=20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线，并标注角度；
（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线，并标注角度；
（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．
考点：作图—应用与设计作图
专题：
分析：（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；
（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别进行分析．
（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别进行分析．
解答：
解：（1）如图所示：
（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．
当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°-x，
当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，
当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且y＞x；
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时180°-x-y=y-90°，∴y=135°-
x，
当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时∠A=45°，∴y=135°-x．
综上所述，当y=90°-x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°-
x或y=135°-x时△ABC存在伴侣分割线．
解：（1）如图所示：（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．
当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°-x，
当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，
当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且y＞x；
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时180°-x-y=y-90°，∴y=135°-
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当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时∠A=45°，∴y=135°-x．
综上所述，当y=90°-x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°-
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点评：此题主要考查了应用设计作图，关键是正确理解题意，了解伴侣分割线的意义．
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