题目内容
15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的两边在坐标轴上，点B的坐标为（10，3），点D为OA的中点过D的直线l：y=kx+b（k≠0）．（1）若直线l同时也过C点，请求出直线l的解析式；
（2）若直线l与线段OC交于点E，且DE分△DCO的面积比为1：2，求出此时l的解析式；
（3）如图2，若直线l与线段CB交于点F，是否存在这样的点F，使△ODF为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有k值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据矩形的性质得到点A、C的坐标，然后由中点的性质求得点D的坐标，将C、D两点的坐标分别代入直线l：y=kx+b（k≠0）借助于方程组求得系数的值；
（2）由三角形的面积公式推知点E的坐标，将点E、D的坐标分别代入直线l：y=kx+b（k≠0）借助于方程组求得系数的值．需要分类讨论：S△DEO：S△DEC=1：2和S△DEC：S△DEO=1：2两种情况；
（3）需要分类讨论：分OF=DF，OD=OF，OD=DF三种情况下的k的值．
解答 
解：（1）如图1，∵矩形OABC的两边在坐标轴上，点B的坐标为（10，3），
∴A（10，0），C（0，3）．
又∵点D为OA的中点，
∴D（5，0）．
把C（0，3）、D（5，0）分别代入y=kx+b（k≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线l的解析式的解析式为：y=-$\frac{3}{5}$x+3；
（2）①当S△DEO：S△DEC=1：2时，OE：EC=1：2，此时E（0，1），
把E（0，1），D（5，0）分别代入y=kx+b（k≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{1=b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则直线l的解析式的解析式为：y=-$\frac{1}{5}$x+1；
②当S△DEC：S△DEO=1：2时，OE：EC=2：1，此时E（0，2），
把E（0，2），D（5，0）分别代入y=kx+b（k≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则直线l的解析式的解析式为：y=-$\frac{2}{5}$x+2；
综上所述，直线l的解析式的解析式为：y=-$\frac{1}{5}$x+1或y=-$\frac{2}{5}$x+2；
（3）如图2，
①当OF=DF时，点F在线段OD的中垂线上，此时F（2.5，3）．
把D（5，0）、F（2.5，3）分别代入y=kx+b（k≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{3=2.5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{6}{5}}\\ b=\frac{6}{25}}\end{array}\right.$；
②当OD=OF=5时，根据勾股定理易得CF=4，则F（4，3）．
把D（5，0）、F（4，3）分别代入y=kx+b（k≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-{3}}\\ b={15}}\end{array}\right.$；
③当OD=DF=5时，根据勾股定理易得F（1，3）．
把D（5，0）、F（1，3）分别代入y=kx+b（k≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{3=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$；
综上所述，k的值是-$\frac{6}{5}$或-3或-$\frac{3}{4}$．
点评 本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及一次函数的综合应用，解答关于动点问题时，要对动点所处的不同位置进行分类讨论，以防漏解．
如图，河堤横断面迎水坡AB的破壁是$1：\sqrt{3}$，堤高BC=12cm，则坡面AB的长度是（ ）| A． | 15cm | B． | $20\sqrt{3}$cm | C． | 24cm | D． | $10\sqrt{3}$cm |
如图所示，已知0B平分∠AOC，OD平分∠BOE，∠BOE=90°，∠BOC=2∠COD，求∠A0E的度数．
如图，点A坐标为（-2，3），将点A绕原点O顺时针旋转90°得点A′，求A′的坐标．
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为（-4，5）、（-1，3）