Question

3．如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=6，AC=8，点D是AC的中点，点P为AB边上的动点（P不与A重合），AP=t（t＞0），PH⊥AC于点H，则PH=$\frac{3}{5}$t，连结DP并延长至点E，使得PE=PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH
（1）用t的代数式表示DH的长；
（2）求证：DF∥AB；
（3）若△DFH为等腰三角形，求t（0＜t≤5）的值．（提示：以∠A为较小锐角的直角三角形的三边比为3：4：5）

Answer 1

分析 （1）分两种情形计算即可：①当0＜t≤5时，DH=AD-AH；②当5＜t≤10时，DH=AH-AD；
（2）由PD=PE，PE=PF，推出PE=PF=PD，进而推出△EFD是直角三角形，推出∠EFD=90°，进而推出DF⊥EF，由此即可证明DF∥AB；
（3）分三种情形进行讨论：①当DH=DF时，②当FD=FH时，③当DH=DF时，用t表示PM、DF，根据DF=2PM列出方程，即可求得t的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=Rt∠，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵DA=DC=4，PH=$\frac{3}{5}$t，AP=t，
∴AH=$\frac{4}{5}$t，
①当0＜t≤5时，DH=AD-AH=4-$\frac{4}{5}$t，
②当5＜t≤10时，DH=AH-AD=$\frac{4}{5}$t-4；

（2）证明：如图，连接PF，
∵E、F关于AB对称，
∴AB垂直平分EF，
∴PE=PF
∴∠PEF=∠PFE，
又∵PE=PD，
∴PF=PD，
∴∠PFD=∠PDF，
∵∠PEF+∠PFE+∠PFD+∠PDF=180°，
∴∠EFD=∠PFE+∠PFD=90°，
 即DF⊥EF，
又∵AB⊥EF，
∴DF∥AB；

（3）∵DF∥AB，
∴∠A=∠FDA，∠AMN=∠C=∠DFN=∠PHA=90°，
∴△AMN∽△ACB∽△DFN，
∴BC：AC：AB=NM：AM：AN=NF：DF：DN=PH：AH：AP=3：4：5，
①如图1中，当DH=DF时，
∵AP=t，
∴AH=$\frac{4}{5}$t，PH=$\frac{3}{5}$t，DH=DF=4-$\frac{4}{5}$，DN=$\frac{5}{4}$（4-$\frac{4}{5}$t）=5-t，AN=4-DN=t-1，AM=$\frac{4}{5}$（t-1），
∴PM=PA-AM=t-$\frac{4}{5}$（t-1）=$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$t，
∵PF=PD，PM∥DF，
∴EM=FM，
∴DF=2PM，
∴4-$\frac{4}{5}$t=2（$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$t），
∴t=2．
②如图2中，当FD=FH时，
∵DH=4-$\frac{4}{5}$t，
∴DF=FH=$\frac{5}{4}$•$\frac{1}{2}$DH=$\frac{5}{8}$（4-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t，DN=$\frac{5}{4}$DF=$\frac{25}{8}$-$\frac{5}{8}$t，
∴AN=4-$\frac{25}{8}$+$\frac{5}{8}$t=$\frac{7}{8}$+$\frac{5}{8}$t，PM=AP-AM=$\frac{3}{8}$t-$\frac{7}{8}$，
∵DF=2PM，
∴$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t=2（$\frac{3}{8}$t-$\frac{7}{8}$），
∴t=$\frac{17}{5}$．
③如图3中，当DH=DF时，
∵DF=DH=4-$\frac{4}{5}$t，
∴DN=$\frac{5}{4}$DF=5-t，
∴AN=4+DN=9-t，AM=$\frac{4}{5}$AN=$\frac{36}{5}$-$\frac{4}{5}$t，
∴PM=AM-AP=$\frac{36}{5}$-$\frac{9}{5}$t，
∵DF=2PM，
∴4-$\frac{4}{5}$t=2（$\frac{36}{5}$-$\frac{9}{5}$t），
∴t=$\frac{26}{7}$，
综上所述，当t=2s或$\frac{17}{5}$s或$\frac{26}{7}$s时，△DFH是等腰三角形．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识的综合应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，学会构建方程解决问题．