Question

3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合），以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时．求证BC=DC+CE；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得到BC=DC+CE；
（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．

（2）BC+CD=CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．