Question

1．如图①，在矩形ABCD中，AC为对角线，AB=4，AD=3，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A-C-B-A运动一周到点A停止，点Q始终为线段AP的中点，当点P与点A不重合时，过点Q作QM⊥AP交边AD或DC于点M，以PQ，QM为边作矩形PQMN．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当点P在线段AC上运动时．
①用含t的代数式表示线段QM的长；
②当矩形PQMN与△ADC重叠部分图形不是五边形时，设重叠部分图形面积为S（平方单位），求S与t的函数关系式．
（2）当点P沿A-C-B运动时，如图①，图②，若矩形PQMN为正方形，求t的值；
（3）设点C关于直线PN的对称点为点C′，点D关于直线MN的对称点为点D′．直接写出线段C′D′与矩形PQMN的边只有一个公共点时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①分两种切线当点M在线段AD上运动时，当点M在CD上时，利用相似三角形的性质即可解决问题．
②分两种情形如图1中，当0＜t$≤\frac{45}{35}$时，如图2中，当$\frac{9}{5}$$≤t≤\frac{5}{2}$时，分别求解即可．
（2）分两种情形如图3中，当点P在AC上时，点M在CD上时，如图4中，当点P在BC上时，分别列出方程即可解决问题．
（3）如图5中，当点D关于MN的对称点在AC上时，易知点M是AD中点，求出此时t的值，根据图6、图7可以得出结论．

解答 解：（1）①当点M在线段AD上运动时（如图1中），

∵∠QAM=∠DAC，∠AQM=∠D=90°，
∴△AQM∽△ADC，
∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QM}{CD}$，
∴$\frac{t}{3}$=$\frac{QM}{4}$，
∴QM=$\frac{4}{3}$t．
当点M在CD上时（如图2中）

，由△CQM∽△CDA，得$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{QM}{AD}$，
∴$\frac{5-t}{4}$=$\frac{QM}{3}$，
∴QM=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{4}$．

②如图1中，当0＜t$≤\frac{45}{35}$时，S=$\frac{3}{4}$t•t=$\frac{3}{4}$t²．
如图2中，当$\frac{9}{5}$$≤t≤\frac{5}{2}$时，S=$\frac{1}{2}$•[$\frac{3}{4}$（5-2t）+$\frac{3}{4}$（5-t）]•t=-$\frac{9}{8}$t²+$\frac{15}{4}t$．

（2）如图3中，当点P在AC上时，点M在CD上时，

∵矩形PQMN为正方形，
∴PQ=QM，
∴t=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{4}$，
∴t=$\frac{15}{7}$，
如图4中，当点P在BC上时，

过点Q作QE⊥CD于E，QF⊥BC于F．
∵矩形PQMN是正方形，
∴QM=QP，∠MQP=∠EQF=90°，
∴∠MQE=∠PQF，∵∠QEM=∠QFP=90°，
∴△QEM≌△QFP，
∴QF=QE，
∵AQ=PQ，QF∥AB，
∴BF=FP，
∴QF=QE=$\frac{1}{2}$AB=2，BF=3-2=1，
∴PB=2BF=2，
∴8-2t=2，
∴t=3．

（3）如图5中，当点D关于MN的对称点在AC上时，易知点M是AD中点，当点M与D重合时，AQ=$\frac{9}{5}$，

由△AQM∽△ADC，得$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{5}$=$\frac{t}{3}$，
∴t=$\frac{9}{10}$，
∴由图6可知，当$\frac{9}{10}$＜t＜$\frac{9}{5}$时，线段C′D′与矩形PQMN的边只有一个公共点，

由图7中可知，当$\frac{5}{2}$＜t＜4时，线段C′D′与矩形PQMN的边只有一个公共点．

如图8中，当点P在AB边上时，满足CN=NM=DM时，线段C′D′与矩形PQMN的边只有一个交点，此时t=$\frac{5+3+\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{14}{3}$．


综上所述当$\frac{9}{10}$＜t＜$\frac{9}{5}$或$\frac{5}{2}$＜t＜4或t=$\frac{14}{3}$s时，线段C′D′与矩形PQMN的边只有一个公共点．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．