Question

已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，设BC=x，AF=y．
（1）求证：∠CAB=∠CEG；
（2）①求y与x之间的函数关系式． ②x=______时，点F是AB的中点；
（3）当x为何值时，点F是的中点，以A、E、C、F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：连接EF（如图1）
∵点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，
∴EF=EC，∵EG⊥CF，∴∠CEF=2∠CEG
∵∠CEF=2∠CAB，∴∠CAB=∠CEG；

（2）（如图2）
①连接EF、EA．设⊙E的半径为r；
在Rt△ADE中，EA=r，DE=6-r，AD=x，
∴x²+（6-r）²=r²，r=x²+3，
∵EF=EA，∴AF=2DE，
即y=2（6-r）=-x²+6，
②点F是AB的中点时，y=3，
即-x²+6=3，∴x=；

（3）（如图3）；
当x=时，F是弧AC的中点．此时四边形AECF菱形；
理由如下：
∵点F是弧AC的中点，∴∠AEF=∠CEF，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=AF=CE=CF，∴△AEF和△CEF都是正三角形，
∴四边形AECF是菱形，且∠CEF=60°，
∴∠BCF=30°，∴BF=CF=AF=AB=2，BC=．
分析：（1）连接EF，由于EG经过圆心E，且与弦CF垂直，由垂径定理知∠CEF=2∠CEG，而圆周角∠CAF和圆心角∠CEG所对的弧正好相同，由圆周角定理知∠CEG=2∠CAF，由此得证；
（2）①设⊙O的半径为r，连接EA、EF；由于EA=EF，那么E点在AF的垂直平分线上，因此AF=2DE，即y=2（6-r），所以只需求出r、x的关系式即可；Rt△ADE中，AD=x，用r可表示出AE、DE的长，即可由勾股定理求得r、x的关系式，由此得解；
②当F是AB中点时，AF=y=3，将其代入①的函数关系式中，即可求得x的值；
（3）当F是弧AC的中点时，EF垂直平分AC，可得AE=EC，AF=FC；易知∠AEF=∠CEF，而∠CEF和∠AFE是平行线的内错角，等量代换后可得∠AEF=∠AFE=∠FAE，由此可证得△EAF是正三角形，由此可证得四边形AECF的四边都相等，即四边形AECF是菱形；此时∠CFB=∠EAF=60°，在Rt△CFB中，易知BF=CF，而AF=FC，那么BF即为AF的一半、AB的三分之一，由此可求得BF的长，进而可得到BC（即x）的长．
点评：此题主要考查了矩形的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识的综合应用能力．