Question

如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A₁B₁C₁，又连接△A₁B₁C₁的各边中点得到△A₂B₂C₂，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…。已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）。

（1）求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标；
（2）如图2，分别求出经过A，B，C三点的抛物线解析式和经过A₁，B₁，C₁三点的抛物线解析式；
（3）设两抛物线的交点分别为E、F，连接EF、EC₁、FC₁、EC₂、FC₂、C₁C₂，问：C₂与△EC₁F的关系是什么？（4）如图3，问：A，A₂，C，C₂四点可不可能在同一条抛物线上，试说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意可知：M点的坐标为
即M。
（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-0）（x-3），
则有：2=a×（2-0）×（2-3），解得a=-1，因
此过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-x²+3x，
可求得A₁、B₁、C₁的坐标分别为
设过这三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，则有：
，解得
即A₁，B₁，C₁三点的抛物线解析式为y=2x²-7x+6；
（3）根据题意有：2x²-7x+6=-x²+3x
即3x²-10x+6=0
解得x=
由于E在F点左侧
因此
由题意可知C₂的坐标为
然后将C₂的坐标代入△EFC₁三边所在的直线中，可得出C₂在△EFC₁外。
（4）A，A₂，C，C₂四点的坐标分别为：
设过A、A₂、C三点的抛物线的解析式为
则有
因此抛物线的解析式为：
将C₂点的坐标代入①中可得：
因此：A，A₂，C，C₂四点不可能在同一条抛物线上。