Question

3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，过点C的直线CF⊥AD于点F，交AB的延长线于点E，连接AC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接FO，若sinE=$\frac{1}{2}$，⊙O的半径为r，请写出求线段FO长的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，根据圆周角定理得到∠1=∠3，推出OC∥AF，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由sinE=$\frac{1}{2}$，推出△AEF，△OEC都为含30°的直角三角形；推出△ACF为含30°的直角三角形；由勾股定理可求OF的长．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵OC=OA，
∴∠1=∠2，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AF，
∵CF⊥AD，
∴∠CFA=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥EF，
∵OC为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：求解思路如下：
①在Rt△AEF和Rt△OEC中，由sinE=$\frac{1}{2}$，
可得△AEF，△OEC都为含30°的直角三角形；
②由∠1=∠3，可知△ACF为含30°的直角三角形；
③由⊙O的半径为r，可求OE，AE的长，从而可求CF的长；
④在Rt△COF中，由勾股定理可求OF的长．

点评 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．