Question

4．如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC，

（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求阴影部分的面积（图1）
（2）设∠AOB=α，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2）

Answer 1

分析 （1）连结OA，如图1，由切线的性质得OA⊥BA，而OQ=BQ=1，于是根据直角三角形斜边上的中线性质得到AQ=OQ=BQ=1，所以△OAQ为等边三角形，得到∠AOQ=60°，然后根据扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形AOQ-S_△AOQ进行计算；
（2）如图2，当点A在Q点时，易α=0°，当点A为切点，由（1）得α=60°，于是可判断线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，0≤α≤60°．

解答 解：（1）连结OA，如图1，
∵线段AB所在的直线与圆O相切，
∴OA⊥BA，
∵OQ=BQ=1，
∴AQ=OQ=BQ=1，
∴△OAQ为等边三角形，
∴∠AOQ=60°，
∴S_阴影部分=S_扇形AOQ-S_△AOQ
=$\frac{60•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²
=$\frac{1}{6}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）如图2，当点A在Q点时，α=0°，
当点A为线段AB的所在的直线与⊙O相切时切点，由（1）得α=60°，
所以当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，0≤α≤60°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了扇形的面积公式．