Question

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E．
（1）sinB=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，sinA=$\frac{BC}{AB}$或$\frac{BE}{BD}$，tanB=$\frac{AC}{BC}$或$\frac{DE}{BE}$；
（2）若sin∠BDE=$\frac{4}{5}$，AE=3.4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的定义求解；
（2）在Rt△BDE中，利用三角函数定义得到sin∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{4}{5}$，则可设BE=4x，BD=5x，于是根据勾股定理得到DE=3x，BC=2BD=10x，再利用余弦定义得到cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，即$\frac{10x}{4x+3.4}$=$\frac{4}{5}$，然后利用比例性质求出x后即可得到DE的长．

解答 解：（1）在Rt△BDE中，sinB=$\frac{DE}{BD}$，tanB=$\frac{DE}{BE}$，cosB=$\frac{BE}{BD}$，
在Rt△ACB中，sinB=$\frac{AC}{AB}$，
sinA=$\frac{BC}{AB}$，tanB=$\frac{AC}{BC}$，
而∠A+∠B=90°，
所有sinA=cosB=$\frac{BE}{BD}$；
故答案为$\frac{DE}{BD}$，$\frac{AC}{AB}$；$\frac{BC}{AB}$或$\frac{BE}{BD}$；$\frac{AC}{BC}$或$\frac{DE}{BE}$；
（2）∵sin∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴设BE=4x，BD=5x，
∴DE=$\sqrt{（5x）^{2}-（4x）^{2}}$=3x，
∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=10x，
∵cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{10x}{4x+3.4}$=$\frac{4}{5}$，解得x=0.4，
∴DE=3x=1.2．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．