Question

3．在锐角△ABC中，AB=AC，BC=4，点D分CA为1：3，sinA是方程13x²-25x+12=0的一个根．则CD的长为$\frac{\sqrt{13}}{4}$或$\frac{3\sqrt{13}}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意可知，本题分两种情况，分别画出相应的图形，根据已知条件进行推理，即可解答本题．

解答 解：根据题意，可以分为两种情况：
第一种情况，如下图所示：

作AE⊥AC于点E，点D在AC上，AD：CD=3：1．
∵方程13x²-25x+12=0，
解得，${x}_{1}=\frac{12}{13}，{x}_{2}=1$．
又∵在锐角△ABC中，AB=AC，BC=4，点D分CA为1：3，sinA是方程13x²-25x+12=0的一个根，
∴sinA=$\frac{12}{13}$．
设AB=13x，BE=12x．
则AE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=5x$．
∴CE=8x．
∵BC²=BE²+CE²．
即4²=（12x）²+（8x）²．
解得，x=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴AC=$\sqrt{13}$．
∵AD：CD=3：1，
∴CD=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
第二种情况，如下图所示：

作AE⊥AC于点E，点D在AC上，AD：CD=1：3．
∵方程13x²-25x+12=0，
解得，${x}_{1}=\frac{12}{13}，{x}_{2}=1$．
又∵在锐角△ABC中，AB=AC，BC=4，点D分CA为1：3，sinA是方程13x²-25x+12=0的一个根，
∴sinA=$\frac{12}{13}$．
设AB=13x，BE=12x．
则AE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=5x$．
∴CE=8x．
∵BC²=BE²+CE²．
即4²=（12x）²+（8x）²．
解得，x=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴AC=$\sqrt{13}$．
∵AD：CD=1：3．
∴CD=$\frac{3\sqrt{13}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{4}$或$\frac{3\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题考查解一元二次方程、解直角三角形、勾股定理的应用，解答本题的关键是能够根据题意得出本题分两种情况，画出相应的图形，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．