Question

18．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-x，（x＜0）}\end{array}\right.$，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0和x-2=0，分别求得x=-1，x=2（称-1，2分别叫做|x+1|与|x-2|的零点值．）在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当x＜-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1；
（2）当-1≤x≤2时，原式=x+1-（x-2）=3；
（3）当x＞2时，原式=x+1+x-2=2x-1．
综上所述，原式=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，（x＜-1）}\\{3，（-1≤x≤2）}\\{2x-1，（x＞2）}\end{array}\right.$．通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x+2|和|x-4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x-4|；
（3）求方程：|x+2|+|x-4|=6的整数解；
（4）|x+2|+|x-4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题中所给材料，求出零点值；
（2）将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答；
（3）由|x+2|+|x-4|=6，得到-2≤x≤4，于是得到结果；
（4）|x+2|+|x-4|有最小值，通过x的取值范围即可得到结果．

解答 解：（1）∵|x+2|和|x-4|的零点值，可令x+2=0和x-4=0，解得x=-2和x=4，
∴-2，4分别为|x+2|和|x-4|的零点值．
（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；
当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；
当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2；
（3）∵|x+2|+|x-4|=6，
∴-2≤x≤4，
∴整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4．
（4）|x+2|+|x-4|有最小值，
∵当x=-2时，|x+2|+|x-4|=6，
当x=4时，|x+2|+|x-4|=6，
∴|x+2|+|x-4|的最小值是6．

点评 本题主要考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．