Question

20．如图 在?ABCD中 对角线AC、BD 相交于点O，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，点E、F恰好为BC、CD的中点，连接OE．
（1）?ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
（2）求∠AEO的度数．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质证出AB=AD，即可得出结论；
（2）先证明△ABC是等边三角形，得出∠BAC=60°，∠CAE=30°，再证明OE=OA，即可得出结果．

解答 （1）答：?ABCD是菱形；
证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，点E、F恰好为BC、CD的中点，
∴AB=AC，AD=AC，
∴AB=AD，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：∵?ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴∠BAC=60°，
∵AE⊥BC，OA=OC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，OE=$\frac{1}{2}$AC=OA，
∴∠AEO=∠CAE=30°．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形的中线性质；证明四边形是菱形以及等边三角形是解决问题的关键．