如图①.在矩形ABCD中.AB=8.AD=4．点P从点A出发.沿A→D→C→D运动.速度为每秒2个单位长度,点Q从点A出发向点B运动.速度为每秒1个单位长度．P.Q两点同时出发.点Q运动到点B时.两点同时停止运动.设点Q的运动时间为t(秒)．连结PQ.AC.CP.CQ．(1)当点P到点C时.t=6s,当点Q到终点时.PC的长度为4．(2)当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．

（1）当点P到点C时，t=6s；当点Q到终点时，PC的长度为4．
（2）当点P在线段CD上时，用含t的代数式表示PD的长．
（3）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，当点P在线段DC上运动时，将△APQ沿PQ折叠，点A落在平面内的点A′处，PQ与AC交于点E．当QA′与△ACD的边DC或AC平行时，直接写出t的值．

分析（1）根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题；
（2）分三种情形讨论当0≤t≤2时，PD=4-2t；当2＜t≤6时，PD=2t-4；当6＜t≤8时，PD=8-（2t-12）=20-2t；
（3）分三种情形当0≤t≤2时，当2＜t≤6时，当6＜t≤8时，讨论即可．
（4）分四种情形①如图1中，当2＜t≤6时，QA′∥AC时，②如图2中，当2＜t≤6时，QA′∥DC时，③如图中，6＜t≤8时，QA′∥DC时，④如图4中，6＜t≤8时，QA′∥AC时，分别列出方程求解即可．

解答解：（1）当点P到点C时，t=$\frac{12}{2}$=6s，
当点Q到终点时，t=8s，点P的运动路程=16，PC的长度=16-12=4，
故答案为6s，4．

（2）当0≤t≤2时，PD=4-2t；
当2＜t≤6时，PD=2t-4；
当6＜t≤8时，PD=8-（2t-12）=20-2t；

（3）当0≤t≤2时，S=4×8-$\frac{1}{2}$×（8-t）×4-$\frac{1}{2}$×t×2t-$\frac{1}{2}$×8×（4-2t）=-t²+10t；
当2＜t≤6时，S=$\frac{1}{2}$×（12-2t）×4=-4t+24；
当6＜t≤8时，S=$\frac{1}{2}$×（2t-12）×4=4t-24；

（4）①如图1中，当2＜t≤6时，QA′∥AC时，易知∠AQE=∠PQA′=∠AEQ=∠CPE，

∴CP=CE，AE=AQ，
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=8，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AE+CE=4$\sqrt{5}$，
∴t+12-2t=4$\sqrt{5}$，
∴t=12-4$\sqrt{5}$．
②如图2中，当2＜t≤6时，QA′∥DC时，

由DP=AQ，得2t-4=t，解得t=4．
③如图中，6＜t≤8时，QA′∥DC时，

由DP=AQ得t=8-（2t-12），解得t=$\frac{20}{3}$．
④如图4中，6＜t≤8时，QA′∥AC时，

由AE=AQ，CP=CE，AE+CE=4$\sqrt{5}$得t+2t-12=4$\sqrt{5}$，解得t=4+$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$，
综上所述，当QA′与△ACD的边DC或AC平行时，t的值为12-4$\sqrt{5}$或4或$\frac{20}{3}$或4+$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$．