Question

10．若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为（45，7，1）或（19，9，1）．

Answer 1

分析 由（2x+1），（2y+1），（2z+1）都是奇数，可得x，y，z都是奇数，然后将原式变形为（2+$\frac{1}{x}$）（2+$\frac{1}{y}$）（2+$\frac{1}{z}$）=13，分析如果z≥3，那么（2+$\frac{1}{x}$）（2+$\frac{1}{y}$）（2+$\frac{1}{z}$）≤（2+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{343}{27}$＜13，可得z=1，即可得3（2x+1）（2y+1）=13xy，继而可得x=$\frac{6y+3}{y-6}$=6+$\frac{39}{y-6}$，则可求得答案．

解答 解：∵（2x+1），（2y+1），（2z+1）都是奇数，
∴x，y，z都是奇数，
∵（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz，
∴（2+$\frac{1}{x}$）（2+$\frac{1}{y}$）（2+$\frac{1}{z}$）=13，
∵x≥y≥z，
如果z≥3，那么（2+$\frac{1}{x}$）（2+$\frac{1}{y}$）（2+$\frac{1}{z}$）≤（2+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{343}{27}$＜13，
∴z=1，
∴3（2x+1）（2y+1）=13xy，
化简得：xy=6（x+y）+3，
则x=$\frac{6y+3}{y-6}$=6+$\frac{39}{y-6}$，
∵39的因子有：1，3，12，39，
∴y-6=1，3，13，39，
∴y=7，9，19，45，
∴x的对应只有：45，19，9，7，
∵x＞y，
∴正整数解（x，y，z）为：（45，7，1）或（19，9，1）．
故答案为：（45，7，1）或（19，9，1）．

点评 此题考查了非一次不定方程的整数解问题．涉及到整除问题，正确判断出z的值是解此题的关键．