Question

2．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
方法感悟：阅读解题过程，并完成下列填空：
延长CB到点G，使GB=DE，连接AG．
则∠ABG=∠D=90°，
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=AD．
又因为BG=DE．
所以△ABG≌△ADE．
所以∠1=∠2，AG=AE．
因为∠EAF=45°，
所以∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
因为∠1=∠2，所以∠1+∠3=45°．
即∠GAF=45°．
又AG=AE，AF=AF，所以△CAF≌△GAF．
所以GF=EF．
所以DE+BF=EF．
方法迁移：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=1，∠B=∠D=90°，∠C=∠EAF=60°，点E、F分别为DC、BC边上的点，试说明DE、BF、EF之间有何数量关系？并求出△CEF的周长．

Answer 1

分析 模仿前面的证明，证明方法迁移中的DE、BF、EF之间有何数量关系；由于∠D=∠ABC=90°，∠C=60°，AB=AD=1，利用四点共圆说明∠DCA、∠BCA都是30°，利用30°角求出△EFC的周长．

解答 （1）答案：45°，△GAF，GF．
（2）解：DE+BF=EF．
理由：延长延长CB到点G，使GB=DE，连接AG．
则∠ABG=∠D=90°，
∵AB=AD=1．
又∵BG=DE．
所以△ABG≌△ADE．
所以∠DAE=∠GAB，AG=AE．
∵∠B=∠D=90°，∠C=∠EAF=60°，
∴∠DAB=120°
∴∠DAE+∠BAF=60°．
∵∠DAE=∠GAB，所以∠GAB+∠BAF=60°．
即∠GAF=60°．
又AG=AE，AF=AF，所以△EAF≌△GAF．
所以 GF=EF．
所以DE+BF=EF．
∵∠ABG=∠D=90°，
∴点A、B、C、D四点共圆．
连接AC，
∵AD=AB，∠C=60°，
∴∠ACD=∠ACB=30°，
在Rt△ACD中，∵AD=1，∴CD=$\sqrt{3}$
在Rt△ACB中，∵AB=1，
∴CB=$\sqrt{3}$
∵L_△EFC=EC+FC+EF=EC+FC+DE+BF=CD+CB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形全等、四点共圆、特殊角间的三边关系．利用四点共圆把边角连接起来是解决△CEF的周长的关键．