在△ABC中.AB=AC.CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放.该三角尺的直角顶点为F.一条直角边与AC边在一条直线上.另一条直角边恰好经过点B．(1)在图1中请你通过观察猜想BF与CG满足的数量关系.并证明你的结论．(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时.一条直角边仍与AC边在同一直线上.另一条直角边交BC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察猜想BF与CG满足的数量关系，并证明你的结论．
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、猜想DE、DF与CG满足的数量关系，并证明你的猜想．

分析（1）由于有∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，故由AAS证得△ABF≌△ACG⇒BF=CG；
（2）过点D作DH⊥CG于点H（如图）．易证得四边形EDHG为矩形，有DE=HG，DH∥BG⇒∠GBC=∠HDC．又有AB=AC⇒∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∠F=∠DHC=90°⇒CD=DC，可由AAS证得△FDC≌△HCD⇒DF=CH，有GH+CH=DE+DF=CG．

解答解：（1）BF=CG，
证明：在△ABF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠G=90°}\\{∠FAB=∠GAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ACG（AAS）
∴BF=CG．
（2）猜想结论是：DE+DF=CG
证明：过点D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，DH⊥CG，∠G=90°，
∴∠G=∠DHC=90°，∠G=∠DEB=90°，
∴GE∥HD，GH∥ED
∴四边形GEDH为平行四边形，
∴DE=HG，
∵GE∥HD，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠GBC=∠FCB，
∴∠HDC=∠FCD，
∵∠F=∠G=90，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴CG=CH+GH=DE+DF．