Question

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6, 0）、C（0, 3），直线与BC边相交于点D。 

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

（3）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。

Answer 1

解：（1）由题知，直线与BC交于点           

把代入中得，   ∴  点D的坐标是（4，3）      

（2）∵抛物线经过D（4, 3）、A（6, 0）两点，

把，；，分别代入中得

                  

解之得                

∴抛物线的解析式为：       

（3）抛物线的对称轴与轴的交点Q₁符合条件。

∵CB∥OA            ∠Q₁OM=∠CDO，

∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO。

，该点坐标为Q₁（3, 0）          

过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，

∵对称轴平行于轴，

∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC，

在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中，

Q₁O-CO=3，∠Q₂=∠ODC。

∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO。

∴CD=Q₁Q₂=4，

∵点Q位于第四象限，∴Q₂（3, -4）

因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（3, 0），Q₂（3, -4）