Question

16．如图点F（5，0）在x轴上，在双曲线y=$\frac{12}{x}$上找点P，Q两点，使得△OPQ与△OPF全等，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 如图，在双曲线上取一点Q（3，4），连接OQ，作∠FOQ的平分线交双曲线于P．首先证明△OPQ≌△OPF，求出直线OP的解析式，解方程组即可解决问题，注意点Q坐标为（4，3）时，同法可得点P的坐标．

解答 解：如图，在双曲线上取一点Q（3，4），连接OQ，作∠FOQ的平分线交双曲线于P．

∵OQ=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OF=5，
∴OQ=OF，
在△OPQ和△OPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠OPQ=∠OPF}\\{OQ=OF}\end{array}\right.$，
∴△OPQ≌△OPF，
∴QP=PF，∵OQ=OF，
∴OP⊥FQ，
∵直线FQ的解析式为y=-2x+10，
∴直线OP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{6}}\\{y=\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{6}}\\{y=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$（舍弃），
∴点P坐标为（2$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）．
当Q点坐标为（4，3）时，同法可得点P坐标为（6，2），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）或（6，2）．

点评 本题考查反比例函数图象上点的特征、全等三角形的判定和性质，一次函数等知识，解题的关键是学会取特殊点解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，题目比较难，是中考压轴题．