题目内容
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，D是三角形内一点，AB=AD，BD=DC，求证：∠ACD=30°．考点：等腰梯形的判定,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰梯形的性质
专题：
分析：如图所示，作∠ACE=∠ACB交BC的平行线AE于E．构建等腰梯形ABCE．利用等腰梯形的性质和全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△ECD，则易证△ADE是等边三角形，然后由等边三角形的性质和三角形内角和定理来求∠ACD=∠3=30°．
解答：解：如图所示，作∠ACE=∠ACB交BC的平行线AE于E，连接DE．
∴∠BCE=2∠ACB=∠ABC，
∴四边形ABCE的等腰梯形，
∴AB=CE．
又∵BD=CD，
∴∠6=∠7
，
∴∠4=∠DCE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴DE=AD=AB=CE．
∵AE∥BC，
∴∠8=∠ACB=∠9，
∴AE=CE=DE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠DAE=∠1+∠8=∠1+∠ACB=60°，
∴3（∠1+∠ACB）=3∠1+3∠ACB=3∠1+（∠ABC+∠ACB）=3∠1+（180°-∠BAC）=180°，
∴∠BAC=3∠1，
∴∠2=2∠1，
∴∠4=∠5=∠CDE=
90°-∠1，
∴∠5+∠ADE+∠CDE=240°-2∠1，
∴∠BDC=360°-（240°-2∠1）=120°+2∠1．
∵∠6=∠7=∠ACB-∠3=60°-∠1-∠3，
又∵在△BDC中，∠6+∠7+∠BDC=180°
∴2（60°-∠1-∠3）+（120°+2∠1）=180°
∴2∠3=60°
即∠ACD=∠3=30°．
∴∠BCE=2∠ACB=∠ABC，
∴四边形ABCE的等腰梯形，
∴AB=CE．
又∵BD=CD，
∴∠6=∠7
，∴∠4=∠DCE，
在△ABD与△ECD中，
|
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴DE=AD=AB=CE．
∵AE∥BC，
∴∠8=∠ACB=∠9，
∴AE=CE=DE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠DAE=∠1+∠8=∠1+∠ACB=60°，
∴3（∠1+∠ACB）=3∠1+3∠ACB=3∠1+（∠ABC+∠ACB）=3∠1+（180°-∠BAC）=180°，
∴∠BAC=3∠1，
∴∠2=2∠1，
∴∠4=∠5=∠CDE=
| 180°-∠2 |
| 2 |
∴∠5+∠ADE+∠CDE=240°-2∠1，
∴∠BDC=360°-（240°-2∠1）=120°+2∠1．
∵∠6=∠7=∠ACB-∠3=60°-∠1-∠3，
又∵在△BDC中，∠6+∠7+∠BDC=180°
∴2（60°-∠1-∠3）+（120°+2∠1）=180°
∴2∠3=60°
即∠ACD=∠3=30°．
点评：本题综合考查了等腰梯形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，难度较大，需要学生对所学知识有一系统的掌握．
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