Question

4．α和β是方程x²-2x-1=0的两根，α²和β²是x²+mx+n=0的两根，点（m，n）在一次函数y=kx+（n-3）的图线上，则此函数的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x-2，它的图象与xOy坐标平面内的坐标轴围成的图形的面积是4．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得出α+β=2，αβ=-1，求出α²+β²和Ვβ²的值，再根据α²和β²是x²+mx+n=0的两根，求出m和n的值，再把m，n的值代入一次函数y=kx+（n-3）中，求出k的值，即可得出此函数的解析式，再根据解析式求出y=-$\frac{1}{2}$x-2的图象与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形的面积公式即可得出答案．

解答 解：∵α和β是方程x²-2x-1=0的两根，
∴α+β=2，αβ=-1，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=4+2=6，Ვβ²=1，
∵α²和β²是x²+mx+n=0的两根，
∴α²+β²=-m=6，Ვβ²=n=1，
∴m=-6，n=1，
∵点（m，n）在一次函数y=kx+（n-3）的图线上，
∴1=-6k+（1-3），
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴此函数的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x-2；
∵y=-$\frac{1}{2}$x-2的图象与坐标轴的交点是（0，-2），（-4，0），
∴与坐标轴围成的图形的面积是：$\frac{1}{2}$×2×4=4；
故答案为：y=-$\frac{1}{2}$x-2，4．

点评 此题考查了根与系数的关系和一次函数图象上点的坐标特征，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．